ikinci dereceden denklemler çözümlü sorular konu anlatımı

İkinci dereceden denklemler çözümlü sorular lys 10.sınıf




İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

 

  a,b,c ∈ ℜ  ve  a≠0  olmak üzere ,

       ax2+bx+c=0

  eşitliğine reel katsayılı ,  x e bağlı ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir.

Bu  denklemi sağlayan x sayılarına denklemin kökleri, x i bulmak için yapılan işlemlere de

denklem çözme denir.

Örnek:

    (k+1)x3+xn-4+ k+5 =0   ,

ifadesi x e bağlı ikinci dereceden denklem olduğuna göre k ve n kaçtır?

k+1=0     ve    n-4=2   olmalıdır.

k=-1               n=2+4 = 6   olur.

 İkinci dereceden denklem çözme yöntemleri

1)  Çarpanlarına ayırarak denklem çözme:

 f(x).g(x)=0  ise  f(x)=0  veya  g(x)=0    dır.

Bu bilgiden hareketle verilen ikinci dereceden ifade,

çarpanlarına ayrılarak ve ayrı ayrı 0  a eşitlenip

denklemin çözüm kümesi bulunabilir.

 Örnek:

2x2+10x=0   denkleminin çözüm kümesi nedir?

Çözüm:   Verilen ifadeyi çarpanlarına ayıracak olursak,

2x2+10x=2x.(x+5)    olur,

2x.(x+5)=0    ise    2x=0   veya   x+5=0   dir. Buradan,

                             x=0               x=-5       olur.

Ohalde kökler   x1=0    ,   x2=-5     ve çözüm kümesi   Ç={-5,0} olur.

     

Örnek:

x2-5x+6=0     denkleminin çözüm kümesi nedir?

Çözüm:     x2-5x+6=0   ise

            (x-3).(x-2)=0   

  x-3=0    veya    x-2=0 

     x=3               x=2      olur,

Ç={2,3}  bulunur.

     

 2)  Formül kullanarak (Delta diskriminant) denklem çözme:

     
 a,b,c ∈ ℜ  ve  a≠0  olmak üzere , 

       ax2+bx+c=0   denkleminde

       Δ=b2-4ac     sayısına denklemin diskriminantı denir.

Denklemin kökleri   ise;

             -b+√Δ                            -b-√Δ

x1=     ————–     ve    x2=     —————–           olur.

               2.a                                2.a

     
   Δ   ile ilgili önemli durumlar:

1) Δ<0    ise denklemin reel sayı kökü yoktur.

2) Δ=0    ise  denklemin  eşit (çakışık , kökleri aynı)  kökleri vardır.

3) Δ>0    ise    denklemin farklı iki reel kökü vardır. 

     
  Örnek: 

     x2+2x+5=0   denkleminin çözüm kümesi nedir?

Çözüm:    a=1   ,  b=2  ,  c=5    olur.

    Δ=b2-4ac     

   Δ=22-4.1.5 

   Δ=4 – 20

   Δ= – 16         Deltanın eşiti  negatif çıktı , 

 Δ nın karekökü  alınamayacağı için  reel kök bulunamaz.

Bu yüzden   Δ<0   olmasından dolayı  verilen denklemin

reel sayı kökü yoktur.

     
  Örnek: 

     x2-6x+9=0   denkleminin çözüm kümesi nedir?

Çözüm:    a=1   ,  b=-6  ,  c=9    olur.

    Δ=b2-4ac     

   Δ=(-6)2-4.1.9 

   Δ=36 – 36

   Δ= 0         Deltanın eşiti sıfır çıktı , 

 Denklemin kökleri   ise;

             -b+√Δ           -(-6)+ √0            6   

x1=     ————– =     —————– = ———-=  3        

               2.a                   2.1               2

              -b+√Δ            -(-6)- √0            6   

x1=     ————–  =   —————– = ———-=   3        

               2.a                   2.1                2

Görüldüğü gibi  köklerin her ikiside  3  oldu. Demek ki eşit iki kök var ve Δ= 0 dır.

Ç={3}    olup eşit, çakışık , çift kat kök vardır.

     
   Örnek: 

     x2-2x-3=0   denkleminin çözüm kümesi nedir?

Çözüm:    a=1   ,  b=-2  ,  c=-3    olur.

    Δ=b2-4ac     

   Δ=(-2)2-4.1.(-3) 

   Δ=4 + 12

   Δ= 16         Deltanın eşiti sıfır çıktı , 

 Denklemin kökleri   ise;

             -b+√Δ           -(-2)+ √16          6   

x1=     ————– =     —————– = ———-=  3        

               2.a                   2.1               2

              -b+√Δ            -(-2)- √16         -2   

x1=     ————–  =   —————– = ———-=   -1        

               2.a                   2.1                2

Görüldüğü gibi  kökler farklı sayılar  oldu. Demek ki farklı iki kök varsa  Δ> 0 dır.

Ç={-1,3}    olup denklemin farklı iki reel sayı olan kökleri vardır.

     
       
       

 

Be the first to comment

Leave a Reply